現在、両親の所有する一戸建てに住んでいます。家賃は払っておりますが、特に契約書等は作成しておりません。

家が、築４０年以上でだいぶガタがきているので、そろそろ建て替えようと思っているのです。家は私達夫婦で建て替えるのですが、その際、土地を両親から買いたいと思います。
その場合、親子間での土地売買ができるのか？またこの土地に銀行の抵当権が付いているので、どうのような問題があるのか？

教えて下さい。宜しくお願いします。

必ず契約書は作成して下さい。（契約書の作成は司法書に依頼されると良いと思います。）
お金の流れがわかるように領収書、振込みの控え等必ず残しておいて下さい。
他人からみて売買が実際にあったとわかるようにしておいて下さい。
税務対策（贈与とみなされた時に説明出来るように）と今後もし売却された時の譲渡所得の計算に必要になります。（ほかにもいろいろ考えられます。主に税金面で・・・）
売買金額は高すぎても、低すぎても贈与とみなされる可能性がありますから事前に税務署に確認して下さい。

土地に抵当権が付いていてもあまり気にする必要は無いと思います。

ねこさんの売買代金で全額返済されて抵当権を抹消すれば問題無いと思います。