でも、手抜きがあったんじゃイヤだしＯＫと言ってしまいました。
これから不動産屋さんには延期になった理由をきちんと伺うつもりですが、これ以上入居が延びる場合（ないとは思いたいんですが）は、現在の賃貸マンションの家賃を出してもらうというのは可能なのでしょうか？

今後、気をつけるような事があったら教えてください。

債務不履行には、履行不能、不完全履行、履行遅滞の3つがあり、今回は履行遅滞(履行期が遅れた)にあたります。

民法には、履行遅滞の場合、履行の余地がある場合、履行をさせる事が出来、損害賠償も請求できるとありますので、明渡しが遅れた事に対しての損害は請求できると考えられます。

ただし、一度遅れる事を承諾させているわけですから、法的に云々というより、話合いで、交渉相談されることになるでしょう。

今後の不安については、さらに遅れが出た場合の取り決めを書面にされておかれる事をお勧めします。

延期理由は「道路使用許可が出なかっただけなんですよ」って言われました。

電話とメールだけであれこれやっても仕方がないかな？と思っていますので、次回不動産会社の担当さんと会った時にもう一度話してみようと思います。